메모

남학생 5명과 여학생 3명이 있다.

이들 중 회장 1명과 남자 부회장 1명, 여자 부회장 1명을 뽑는 경우의 수를 구하여라.

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스트레스를 받거나 해야 할 일을 미루고 있을 때. 가끔은 수학 문제를 풀면서 마음을 비운다.

이번에 꺼낸 책은 중학교 2학년 2학기 문제집으로, 경우의 수와 확률에서 100문제를 풀었다.

(매일 산책 한 시간, 피아노 한 시간과 더불어 수학 문제 100개 풀기도 포함시켜볼까?)

 

경우의 수는 수학이라기보다는 논리학에 가깝다고 생각한다.

계산이 복잡한 게 아니라, 문제를 얼마나 잘 읽어내느냐가 중요하기 때문이다.

(그래서 언어능력이 떨어지는 사람이 낸 문제를 보면 짜증이 난다.)

 

서로 '다른' 동전, 각기 '다른' 주사위를 던지는 문제라든가... 주머니 안에 든 공을 '차례'로 하나씩 꺼내느냐, 하나를 꺼낸 다음 다시 넣은 뒤 반복해서 공을 꺼내느냐와 같은 조건들이 대단히 중요하고, 이걸 명확히 구분해내는 능력이 절대적으로 요구된다. 서로 다른 동전이라는 말은 없지만 동전의 순서를 구분하는 상황이라든가. 똑같은 동전을 동시에 던져서 나온 모양이라든가.. 이런 차이들이 전혀 다른 결과를 만들어내기 때문이다.

그래서 경우의 수나 확률 문제를 풀 때면 머리 속으로 주어진 상황을 그리는 일에 에너지를 쏟곤 한다.

짤랑거리는 동전들을 은화로 할까 상평통보로 할까. 주머니 속에 들어있는 공은 당구공이 좋으려나?

 

이번에 푼 문제들 중 재미있던 게 바로 위에 나온 문제다.

남학생 5명과 여학생 3명. 이들 중 한 명의 회장과, 여자 부회장 1명, 남자 부회장 1명을 뽑는 경우의 수.

 

머릿속에서 중학교 교실이 그려지고, 칠판 앞에 학생들을 하나씩 세워놓기 시작했다.

회장을 한 명 뽑는 건 8가지 경우가 나온다. 이제 부회장을 뽑아야겠군.

그런데 선출된 회장이 남자인지 여자인지 모른다는게 문제네.

 

만약 회장이 남자라면, 남자 부회장은 4가지 경우가 나오고, 여자 부회장은 3가지 경우가 나온다.

만약 회장이 여자라면, 남자 부회장은 5가지 경우가 나오고, 여자 부회장은 2가지 경우가 나온다.

즉 답을 구하려면 회장이 남자인 경우(5x4x3)와 회장이 여자인 경우(3x5x2)를 각각 구해, 이 둘을 더해야 한다는 말이 된다.

 

그런데 조금 의문이 들었다. 이게 이렇게 복잡하게(?) 풀어야 하는 문제일까?

거꾸로 생각해보자. 남자 부회장과 여자 부회장을 먼저 뽑고, 나머지 애들 중 아무나 회장을 시키는 방법으로.

남자 부회장을 뽑는 경우는 5가지. 여자 부회장을 뽑는 경우는 3가지가 있다. 그렇게 뽑은 뒤 남겨진 남학생 4명과 여학생 2명 중 아무나 회장을 시킨다면 회장을 뽑는 경우는 6가지 방법이 나온다.

즉 이 문제는 5x3x6 으로 해결할 수 있다.

재미있지 않은가. 남는 애들 중 아무나 회장을 시켜도 되는 상황이.

 

함정은 '회장'과 '부회장'이라는 직함에 있었다. 

만약 문제를 '여자 반장 1명과 남자 반장 1명, 그리고 청소반장 1인'을 선출하는 것으로 바꾼다면 어떨까. 이럴 경우 첫 번째 방식 보다 두 번째 방식을 더 먼저 생각해냈을 것이다.

회장이 부회장보다 더 중요하다는 생각으로 인해 우리는 회장을 먼저 뽑고, 남은 사람들 중에서 부회장을 뽑는 방식으로 문제를 해결하게 된다. 이런 선입견이 오히려 문제를 복잡한 방식으로 해결하게 만들기도 한다. 회장과 부회장, 청소반장과 같은 직함이 지닌 이미지를 최대한 배제하고 이런 문제에 접근하려면, 무엇이 더 많은 '제한된 조건'을 지니고 있는지 구분하는 능력이 필요하다.